|
数学における（ティッツの、あるいはブリュア＝ティッツの）建物（たてもの、）は、フランソワ・ブリュアとジャック・ティッツに名を因む、旗多様体、有限射影平面およびリーマン対称空間のある種の側面を一斉に一般化する組合せ論的かつ幾何学的な構造である。初め、建物はジャック・ティッツによってリー型の例外群の構造を理解するための手段として導入され、その理論は自由群の研究に木が用いられたのと同じ仕方で、 ''p''-進リー群その離散的対称変換部分群の等質空間の幾何および位相を研究するのにも用いられた。 == 概観 == 建物の概念は、ジャック・ティッツによって、任意の体上の単純代数群を記述するための手段として考案された。ティッツはそのような種類の任意の群 ''G'' が、''G'' の球建物あるいは球面型建物 と呼ばれる、''G'' の作用を持つ単体的複体 Δ = Δ(''G'') にどのように対応させられるかを具体的に示して見せた。群 ''G'' はこの方法によって得られる複体 Δ に、非常に強い組合せ論的正則性条件を強いることになる。それらの条件を単体的複体のクラスに対する公理として扱うことにより、ティッツは建物の最初の定義に到達した。建物 Δ を定義するデータの一部は、コクセター群 ''W'' であり、これはコクセター複体と呼ばれる高度に対称的な単体的複体 Σ = Σ(''W'',''S'') を決定する。建物 Δ は、そのアパートと呼ばれる Σ の複数のコピーをある正則なやり方で貼合せることによって得られる。''W'' が有限型コクセター群ならば、コクセター複体は位相的球面であり、対応する建物は球面型 と呼ばれる。''W'' がアフィンワイル群ならば、コクセター複体はアフィン平面の細分であり、建物はアフィン型あるいはユークリッド型であるという。-型のアフィン型建物は、終端頂点を持たない無限木と同じものである。 半単純代数群の理論は建物の概念に対する最初の動機を与えるものであったけれども、全ての建物が群から得られるわけではない。特に、射影平面および一般化された四角形は、接続幾何学において研究される、建物の公理を満足するが群と無関係であるような、グラフの二つのクラスを形成する。この現象は、対応するコクセター系が低階数（つまり二階）であるようなものに関係することが分かる。ティッツは、 : 階数が 3 以上の任意の球面型建物は群に関連する。さらに階数が 2 以上の建物が群に関連するならば、その群は建物によって本質的に決定される。 という驚くべき定理を証明した。 岩堀-松本、ボレル-ティッツ、およびブリュア-ティッツは、球面型建物に関するティッツの構成のアナロジーとして、アフィン型建物もある種の群（つまり非アルキメデス局所体上の簡約代数群）から構成できることを示した。さらに、そのような群の分裂階数が 3 以上であるならば、それは本質的にその建物から決定される。後にティッツは、建物の理論の基礎となる部分を、専ら最も大きい次元の単体の隣接性のみを用いて建物の情報を記述する、小部屋系 の概念を用いて再構成している。これにより、球面型、アフィン型ともに簡略化されることとなった。ティッツは球面型の場合のアナロジーとして、アフィン型の階数が 4 以上の任意の建物が群から得られるということを示した。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「建物 (数学)」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Building (mathematics) 」があります。 スポンサード リンク
|